抽象函数常见题型解法综述赵春祥
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1. 已知函数3baba73e62823e1e440298cfe8743533.png的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。
解：3baba73e62823e1e440298cfe8743533.png的定义域是［1，2］，是指0777cf2be6b5a3c0c726f0bf281e1517.png，所以3baba73e62823e1e440298cfe8743533.png中的c652631491acdbf8e5ed69dfd19681.png满足68d59634a6761e49b4859739919e99f1.png
从而函数f（x）的定义域是［1，4］
评析：一般地，已知函数337cae8f063658a422ea469652e5af29.png的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知337cae8f063658a422ea469652e5af29.png中x的取值范围为A，据此求f4f3397e2b7a7321083702930a1df2c8.png的值域问题。
例2. 已知函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域是cc86f7953c367f0283d6f16c973f6e53.png，求函数832ec75fee7faaa1c10ef666815c8486.png的定义域。
解：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域是cc86f7953c367f0283d6f16c973f6e53.png，意思是凡被f作用的对象都在cc86f7953c367f0283d6f16c973f6e53.png中，由此可得b9d52b0e4fcf83a7960843b08497247a.png
所以函数832ec75fee7faaa1c10ef666815c8486.png的定义域是0f48ed431dec4405c0f90775a4ce29.png
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数337cae8f063658a422ea469652e5af29.png的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知f4f3397e2b7a7321083702930a1df2c8.png的值域B，且7bc5d8efc8e1227126d3656d6822001e.png，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为b269d483cb480c41936cdbf70cf0dec2.png的函数f（x），同时满足下列条件：①f53ae7db8c0740ef69685bd884b859.png；②587383de04ce304e96ff8745d6e272ac.png，求f（3），f（9）的值。
解：取7e6050c1df3fa034849edd304ad9270b.png，得02b604359b2b0c886f1edbced6eed4bc.png
因为f53ae7db8c0740ef69685bd884b859.png，所以d0020c7d1d7cca60fca41846f4f1d400.png
又取f6876c76ceeac175458c58274b6ba6b3.png
得1397df386d959c0de665b3bf4bce1db4.png
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取7e6050c1df3fa034849edd304ad9270b.png，这样便把已知条件f53ae7db8c0740ef69685bd884b859.png与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，43508b3e694623b422a397c5914494.png总成立，且存在b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png，使得acd00cd1563efc8f00501162d6057fb0.png，求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的值域。
解：令3c84538ac04d51943e695237f607876b.png，得35e218f3e0a682e77ece27559f0a0834.png，即有e2a061a5ee974f36bf4280bac3962260.png或c7be1ed226d5413a469a31676f5a0692.png。
若e2a061a5ee974f36bf4280bac3962260.png，则f9e9bb60c725c3722cea98fcc96fab24.png，对任意b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png均成立，这与存在实数b3f7e10b4408ebf3a39cf02627d83adb.png，使得acd00cd1563efc8f00501162d6057fb0.png成立矛盾，故3c92bea2eb3560f816bec1913ebad09e.png，必有c7be1ed226d5413a469a31676f5a0692.png。
由于43508b3e694623b422a397c5914494.png对任意127f2b2f3a4fb6ec25592f06cee39520.png均成立，因此，对任意b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，有
0dc044ecf5fead52615baa6103611907.png
下面来证明，对任意72b0d7f215b3cd4052b0730f69cc4763.png
设存在74f9e13cb5dc6f73f8070b2ef03745a7.png，使得ed37dbefd71ad882f5a23b6a7fde53fb.png，则6860550441fa46e8ad303eab30ba4c.png
这与上面已证的3c92bea2eb3560f816bec1913ebad09e.png矛盾，因此，对任意72b0d7f215b3cd4052b0730f69cc4763.png
所以3d97eb56e02c28dd20a529548180.png
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题
例5. 设对满足14e7565c673c962113243cb46821c1e4.png的所有实数x，函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足37a74c7568fa551937a51bae20924b94.png，求f（x）的解析式。
解：在40e865305d612bfcc51e2bd0835a691a.png中以8f051f6ebb93dbcd318a1d77abb69d1d.png代换其中x，得：
eb37d91eb2c638421346aceb70318578.png
再在（1）中以99d2cbce817234ee7af70c6a1cac4766.png代换x，得
342eb7396500dcd262e8181ba251ac83.png
69a5509013046af7a0c977e42581.png化简得：30c73a6a9a7c5f13069f0f0753745baf.png
评析：如果把x和8f051f6ebb93dbcd318a1d77abb69d1d.png分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题
例6. 设f（x）定义于实数集上，当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，c5fa18e0f40aaa481bf8d30999c3cc80.png，且对于任意实数x、y，有a45d4b6ced6e247eb93f9bbf9e83caf6.png，求证：50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在R上为增函数。
证明：在43508b3e694623b422a397c5914494.png中取3c84538ac04d51943e695237f607876b.png，得35e218f3e0a682e77ece27559f0a0834.png
若e2a061a5ee974f36bf4280bac3962260.png，令a4e55f0cc6387bbce8e66e7aef8d352e.png，则fd05d8d90456c441c8f101bd8576bc.png，与c5fa18e0f40aaa481bf8d30999c3cc80.png矛盾
所以3c92bea2eb3560f816bec1913ebad09e.png，即有c7be1ed226d5413a469a31676f5a0692.png
当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，8cbf2f1e72e44eb08c5b57d4543d6c.png；当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，a71b7e00bc9f808fb2df971f92197fdd.png
而99eb98f48cb4514c1f8717333101c66e.png
所以14a85ee7c3f518e086fe306d1911002c.png
又当e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png时，d6b82b20857ac487d2333de7bf2a78.png
所以对任意b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，恒有3d97eb56e02c28dd20a529548180.png
设5430f33f42635601c8887ad10bcbd2.png，则d4df9b8d7f3b8a4c01cca83dd493b67c.png
所以58bab5f4499bab018ab37c2491a9.png
所以7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7. 已知函数9b6f69b27b7fd658f0fbedc81c496ab7.png对任意不等于零的实数306b42c1f78c26c0577e109b613ec31d.png都有054147bb5d576bbcce0bd0883197c7fe.png，试判断函数f（x）的奇偶性。
解：取5e7ad714448c8dee746c0132152f3779.png得：b93f3877e1ff58dae1a4e4d8fe41a637.png，所以132c84bf0affdf6857571014cfe3b9.png
又取512c574ea5c7be5bcb559ea0c4c3bada.png得：2bb1274a3f3192949c1e7edc0d61.png，所以1c6ca6c9c2ce2a1e9e368c84defde1d6.png
再取178745ac71243b6d0e494873605ee378.png则bdc0a9b6f1a6079d1aa3a3b181a139af.png，即8687c4dcd63c0bc1b2c1519733e9.png
因为50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为非零函数，所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为偶函数。
七、对称性问题
例8. 已知函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png满足db1cc3b755b275e5c614bb34f52a1130.png，求d6bb868bd900a410ba109dc136ecf7a2.png的值。
解：已知式即在对称关系式ee8368336a2231f4a0c6784bed80d206.png中取2477da8c3a734d9ccd54d49ed48636e4.png，所以函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png的图象关于点（2002，0）对称。
所以002366db0cff99508575363a4bd11e5f.png
将上式中的x用f7c7bb3297777f77769254122206c4.png代换，得6b77e08e303935dad87a45ea4219e3c0.png
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png对一切实数x都满足ee8368336a2231f4a0c6784bed80d206.png，则函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象关于点（a，b）成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9. 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有682a71372608f749c8431f8fc943c0cf.png，且当x>0时，0。（1）判断f（x）的单调性；
（2）设88e397027d11297fa299d1a993382a4c.png，
a36ac5b5ada954c976311db0b82e1c.png，若61c5cbec5aecaa35b7639d5f52fb843f.png，试确定a的取值范围。
解：（1）在682a71372608f749c8431f8fc943c0cf.png中，令33accf379b254dbc42bacb0bf4a87f84.png，得26386e516e52176c7d5eb087e22d4502.png，因为1fc48c01a5f1551ee9d1d8a241c200.png，所以c7be1ed226d5413a469a31676f5a0692.png。
在682a71372608f749c8431f8fc943c0cf.png中，令a332bbb003cc21adb0adca75e0bfe0a8.png
因为当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，585c8687c38aa6e799ca4ea545a9fe48.png
所以当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时f348babe1dcd88492f6c677554e03f.png
而99eb98f48cb4514c1f8717333101c66e.png
所以c5d99374d2997cdbdfc101652da52276.png
又当x=0时，d6b82b20857ac487d2333de7bf2a78.png，所以，综上可知，对于任意b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，均有3d97eb56e02c28dd20a529548180.png。
设5430f33f42635601c8887ad10bcbd2.png，则8107fb24fe0eacdcad2561b870d37d2a.png
所以0b02c93a7e9a32f8fd341414ea42db83.png
所以7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在R上为减函数。
（2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以4285ac0c6520ac3c8fd01c4e76c219b7.png
即有854b9136d5f043b6c69696bfa1a974cc.png
又9846008319b95e2e5cef8c22ba43fc.png，根据函数的单调性，有824e6af3654d31b9c8e9533af1184340.png
由61c5cbec5aecaa35b7639d5f52fb843f.png，所以直线824e6af3654d31b9c8e9533af1184340.png与圆面854b9136d5f043b6c69696bfa1a974cc.png无公共点。因此有9654befbf7d5b5f0eb7b91c06f813783.png，解得eab8aed6c168e47cbdbd3b0bd8d7ac55.png。
评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f（0）的取值问题，二是f（x）>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。